線形代数例

$[\begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) & \sin (x) \\ e^{x} & - \sin (x) & \cos (x) \\ e^{x} & - \cos (x) & - \sin (x) \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$e^{x} | \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

$e^{x} | \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} | - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2

$| \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$e^{x} (- \sin (x) (- \sin (x)) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$- \sin (x) (- \sin (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x} (1 \sin (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.1.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{x} (\sin (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.1.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{x} (\sin^{1} (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.1.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{x} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x} ({\sin (x)}^{1 + 1} - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{x} (\sin^{2} (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.2

$- \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - (\cos^{1} (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - {\cos (x)}^{1 + 1}) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.3

$- - \cos^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x} (\sin^{2} (x) + 1 \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2.1.3.2

$\cos^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{x} (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 2.2.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (e^{x} (- \sin (x)) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (e^{x} (- \cos (x)) - e^{x} (- \sin (x)))$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) - e^{x} (- \sin (x)))$

ステップ 4.2.2

$- e^{x} (- \sin (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + 1 e^{x} \sin (x))$

ステップ 4.2.2.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

ステップ 5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{x} - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$e^{x} - \cos (x) (- e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

ステップ 5.1.3

$- \cos (x) (- e^{x} \sin (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x} + 1 \cos (x) (e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

ステップ 5.1.3.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

ステップ 5.1.4

$- \cos (x) (- e^{x} \cos (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + 1 \cos (x) (e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

ステップ 5.1.4.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) (e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

ステップ 5.1.4.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

ステップ 5.1.4.4

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

ステップ 5.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1} e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

ステップ 5.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

ステップ 5.1.5

分配則を当てはめます。

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (e^{x} \sin (x))$

ステップ 5.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin (x) (e^{x} \sin (x))$

ステップ 5.1.7

$\sin (x) (e^{x} \sin (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) e^{x}$

ステップ 5.1.7.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) e^{x}$

ステップ 5.1.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} e^{x}$

ステップ 5.1.7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

ステップ 5.2

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.1

$\cos (x) e^{x} \sin (x)$ と $- \sin (x) e^{x} \cos (x)$ について因数を並べ替えます。

$e^{x} + e^{x} \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - e^{x} \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

ステップ 5.2.2

$e^{x} \cos (x) \sin (x)$ から $e^{x} \cos (x) \sin (x)$ を引きます。

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + 0 + \sin^{2} (x) e^{x}$

ステップ 5.2.3

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$

ステップ 5.3

$e^{x}$ を $e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$1$ を掛けます。

$e^{x} \cdot 1 + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$

ステップ 5.3.2

$e^{x}$ を $\cos^{2} (x) e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

ステップ 5.3.3

$e^{x}$ を $\sin^{2} (x) e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x) + e^{x} \sin^{2} (x)$

ステップ 5.3.4

$e^{x}$ を $e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$e^{x} \cdot (1 + \cos^{2} (x)) + e^{x} \sin^{2} (x)$

ステップ 5.3.5

$e^{x}$ を $e^{x} \cdot (1 + \cos^{2} (x)) + e^{x} \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$e^{x} (1 + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$e^{x} (1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

ステップ 5.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$e^{x} (1 + 1)$

ステップ 5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{x} \cdot 2$

ステップ 5.7

$2$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$2 e^{x}$

線形代数 例

線形代数例